Банк ФИПИ

Дайте развернутый ответ. Четырёхугольник ABCD  со сторонами AB=34  и CD=22  вписан в окружность. Диагонали AC  и BD  пересекаются в точке K , причём ∠AKB=60° . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Дайте развернутый ответ. Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A  и B  лежат на первой окружности, точки C  и D   —  на второй. При этом AC и BD   —  общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB  и CD .

Дайте развернутый ответ. На стороне BC  остроугольного треугольника ABC  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD  в точке M , AD=80 , MD=64 , H   —  точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .

Дайте развернутый ответ. На стороне BC  остроугольного треугольника ABC  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD  в точке M , AD=72 , MD=18 , H   —  точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .

Дайте развернутый ответ. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дайте развернутый ответ. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A  и B  лежат на первой окружности, точки C  и D   —  на второй. При этом AC и BD   —  общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB  и CD .

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  биссектриса угла A  делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 5:4 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC=6 .

Дайте развернутый ответ. На стороне BC  остроугольного треугольника ABC  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD  в точке M , AD=81 , MD=9 , H   —  точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .

Дайте развернутый ответ. В трапеции ABCD  боковая сторона AB  перпендикулярна основанию BC . Окружность проходит через точки C  и D  и касается прямой AB  в точке E . Найдите расстояние от точки E  до прямой CD , если AD=14 , BC=7 .

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  биссектриса угла A  делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении  5:3 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC=8 .

Дайте развернутый ответ. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Дайте развернутый ответ. Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки A  и B  лежат на первой окружности, точки C  и D   —  на второй. При этом AC и BD   —  общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB  и CD .

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC .

Дайте развернутый ответ. Углы при одном из оснований трапеции равны 47°  и 43° , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. Найдите основания трапеции.

Дайте развернутый ответ. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Дайте развернутый ответ. Боковые стороны AB  и CD  трапеции ABCD  равны соответственно 8 и 10, а основание BC  равно 2. Биссектриса угла ADC  проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  известны длины сторон AB=15 , AC=25 , точка O   —  центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D . Найдите CD .

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 32. Найдите стороны треугольника ABC .

Дайте развернутый ответ. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Дайте развернутый ответ. Углы при одном из оснований трапеции равны 77°  и 13° , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Дайте развернутый ответ. В трапеции ABCD  основания AD  и BC  равны соответственно 18 и 6, а сумма углов при основании AD  равна 90° . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A  и B  и касающейся прямой CD , если AB=10 .

Дайте развернутый ответ. Боковые стороны AB  и CD  трапеции ABCD  равны соответственно 40 и 41, а основание BC  равно 16. Биссектриса угла ADC  проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  известны длины сторон AB=40 , AC=64 , точка O   —  центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D . Найдите CD .

Дайте развернутый ответ. В треугольнике ABC  известны длины сторон AB=18 , AC=36 , точка O   —  центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D . Найдите CD .