Банк ФИПИ

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

Дайте развернутый ответ. Через точку O  пересечения диагоналей параллелограмма ABCD  проведена прямая, пересекающая стороны AB  и CD  в точках E  и F  соответственно. Докажите, что отрезки AE  и CF  равны.

Дайте развернутый ответ. Сторона AB  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны AD . Точка L   —  середина стороны AB . Докажите, что DL   —  биссектриса угла ADC .

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Дайте развернутый ответ. В трапеции ABCD  с основаниями AD  и BC  диагонали пересекаются в точке P . Докажите, что площади треугольников APB  и CPD  равны.

Дайте развернутый ответ. В трапеции ABCD  с основаниями AD  и BC  диагонали пересекаются в точке O . Докажите, что площади треугольников AOB  и COD  равны.

Дайте развернутый ответ. Окружности с центрами в точках M  и N  пересекаются в точках S  и T , причём точки M  и N  лежат по одну сторону от прямой ST . Докажите, что прямые MN  и ST  перпендикулярны.

Дайте развернутый ответ. На средней линии трапеции ABCD  с основаниями AD  и BC  выбрали произвольную точку K . Докажите, что сумма площадей треугольников BKC  и AKD  равна половине площади трапеции.

Дайте развернутый ответ. Через точку O  пересечения диагоналей параллелограмма ABCD  проведена прямая, пересекающая стороны AB  и CD  в точках P  и Q  соответственно. Докажите, что отрезки BP  и DQ  равны.

Дайте развернутый ответ. Через точку O  пересечения диагоналей параллелограмма ABCD  проведена прямая, пересекающая стороны BC  и AD  в точках L  и N  соответственно. Докажите, что отрезки CL  и AN  равны.

Дайте развернутый ответ. Сторона AB  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны BC . Точка L   —  середина стороны AB . Докажите, что CL   —  биссектриса угла BCD .

Дайте развернутый ответ. Окружности с центрами в точках E  и F  пересекаются в точках C  и D , причём точки E  и F  лежат по одну сторону от прямой CD . Докажите, что прямые CD  и EF  перпендикулярны.

Дайте развернутый ответ. Окружности с центрами в точках I  и J  пересекаются в точках A  и B , причём точки I  и J  лежат по одну сторону от прямой AB . Докажите, что прямые AB  и IJ  перпендикулярны.

Дайте развернутый ответ. На средней линии трапеции ABCD  с основаниями AD  и BC  выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников BEC  и AED  равна половине площади трапеции.

Дайте развернутый ответ. Окружности с центрами в точках I  и J  не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n .

Дайте развернутый ответ. Окружности с центрами в точках P  и Q  пересекаются в точках K  и L , причём точки P  и Q  лежат по одну сторону от прямой KL . Докажите, что прямые PQ  и KL  перпендикулярны.

Дайте развернутый ответ. Сторона AD  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны CD . Точка M   —  середина стороны AD . Докажите, что CM   —  биссектриса угла BCD .

Дайте развернутый ответ. Сторона BC  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны AB . Точка K   —  середина стороны BC . Докажите, что AK   —  биссектриса угла BAD .

Дайте развернутый ответ. Через точку O  пересечения диагоналей параллелограмма ABCD  проведена прямая, пересекающая стороны BC  и AD  в точках K  и M  соответственно. Докажите, что отрезки BK  и DM  равны.

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов A  и B  параллелограмма ABCD  пересекаются в точке N , лежащей на стороне CD . Докажите, что N   —  середина CD .

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов A  и D  параллелограмма ABCD  пересекаются в точке K , лежащей на стороне BC . Докажите, что K   —  середина BC .

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

Дайте развернутый ответ. Сторона CD  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны AD . Точка N   —  середина стороны CD . Докажите, что AN   —  биссектриса угла BAD .

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов C  и D  параллелограмма ABCD  пересекаются в точке L , лежащей на стороне AB . Докажите, что L   —  середина AB .