Банк ФИПИ

Дайте развернутый ответ. Точка H  является основанием высоты BH , проведённой из вершины прямого угла B  прямоугольного треугольника ABC . Окружность с диаметром BH  пересекает стороны AB  и CB  в точках P  и K  соответственно. Найдите PK , если BH=15 .

Дайте развернутый ответ. Точка H  является основанием высоты BH , проведённой из вершины прямого угла B  прямоугольного треугольника ABC . Окружность с диаметром BH  пересекает стороны AB  и CB  в точках P  и K  соответственно. Найдите PK , если BH=11 .

Дайте развернутый ответ. Окружность пересекает стороны AB  и AC  треугольника ABC  в точках K и P  соответственно и проходит через вершины B  и C . Найдите длину отрезка KP , если AP=9 , а сторона BC  в 3 раза меньше стороны AB .

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 4 и 64, BD=16 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 5 и 45, BD=15 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 9 и 36, BD=18 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 6 и 24, BD=12 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 5 и 20, BD=10 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 2 и 32, BD=8 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 8 и 32, BD=16 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 7 и 28, BD=14 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 4,5 и 18, BD=9 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Основания BC  и AD  трапеции ABCD  равны соответственно 3 и 12, BD=6 . Докажите, что треугольники CBD  и BDA  подобны.

Дайте развернутый ответ. Сторона BC  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны CD . Точка K   —  середина стороны BC . Докажите, что DK   —  биссектриса угла ADC .

Дайте развернутый ответ. Сторона AD  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны AB . Точка M   —  середина стороны AD . Докажите, что BM   —  биссектриса угла ABC .

Дайте развернутый ответ. Внутри параллелограмма ABCD  выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников BEC  и AED  равна половине площади параллелограмма.

Дайте развернутый ответ. На средней линии трапеции ABCD  с основаниями AD  и BC  выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников BFC  и AFD  равна половине площади трапеции.

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов B  и C  параллелограмма ABCD  пересекаются в точке M , лежащей на стороне AD . Докажите, что M   —  середина AD .

Дайте развернутый ответ. Сторона CD  параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны BC . Точка N   —  середина стороны CD . Докажите, что BN   —  биссектриса угла ABC .

Дайте развернутый ответ. Точка K   —  середина боковой стороны CD  трапеции ABCD . Докажите, что площадь треугольника KAB  равна половине площади трапеции.

Дайте развернутый ответ. Точка E   —  середина боковой стороны AB  трапеции ABCD . Докажите, что площадь треугольника ECD  равна половине площади трапеции.

Дайте развернутый ответ. Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Дайте развернутый ответ. Внутри параллелограмма ABCD  выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников BFC  и AFD  равна половине площади параллелограмма.

Дайте развернутый ответ. Окружности с центрами в точках P  и Q  не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b .